Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Schönen guten Tag, meine Damen und Herren. Wir wollen heute zunächst einmal das Kapitel 3,

freie Schwingung, zu Ende bringen. Wir haben uns ja beim letzten Mal mit den Phasenporträt

auseinandergesetzt, sozusagen als weitere Darstellungsform, wie man eine freie Schwingung

sozusagen visualisieren kann. Wir wollen uns heute um den Stabilitätsbegriff kümmern für so ein

freies System und wir wollen das folgendermaßen definieren, das ist angelehnt an die Stabilitätsdefinition

von Yapunov, der das aber ursprünglich für nicht lineare Systeme formuliert hat. Hierfür

ein lineares System wollen wir das folgendermaßen definieren. Ein Schwingungssystem heißt

stabil, wenn für jede beschränkte Anfangsbedingungen, das heißt irgendeine Norm von x0,

es ist im Prinzip schon egal welche, es darf halt kein Eintrag irgendwie unendlich sein,

ich darf also keine unendlich große Anfangsverschiebung oder Anfangsgeschwindigkeit

vorgeben, die Lösung für alle Zeiten t größer 0 auch beschränkt bleibt, dass also die Norm des

Lösungsvektors x kleiner irgendeine Schranke epsilon ist, die fest ist, wobei die aber wiederum

von den Anfangsbedingungen abhängen kann. Das heißt nicht, dass die Lösung klein ist,

aber halt nicht unendlich groß werden kann. Asymptotisch stabil ist das System, wenn es

tatsächlich abklingt, also wenn das epsilon sozusagen 0 ist, da ist also dann der Betrag

von x gegen 0 geht, das System also wirklich zur Ruhe kommt, dann würde man es asymptotisch stabil

nennen, es ist instabil, wenn es nicht stabil ist, das heißt wenn die Amplitude anwächst,

gegen unendlich mit großer Zeit und grenzstabil ist sozusagen dieser Zwischenzustand zwischen stabil

und asymptotisch stabil, also es ist stabil, aber nicht asymptotisch stabil, das heißt es läuft auf

eine beschränkte Amplitude zu und bleibt dort, das ist im Prinzip die freie ungedämpfte Schwingung,

der gebe ich einer Anfangsauslenkung, einer Anfangsgeschwindigkeit mit und dann schwingt

das ewig zwischen zwei Grenzen hin und her, die Amplitude wird nicht kleiner und sie wird nicht

größer, dann habe ich genau diesen grenzstabilen Zustand. Das sind sozusagen die drei Fälle,

die es da gibt, asymptotisch stabil und grenzstabil sind beide stabile Zustände oder halt instabil.

So jetzt ist natürlich die Frage, wie kann man das vernünftig erkennen, ob ein System sich so

verhält und das übliche Kriterium, nach dem man das untersucht, ist tatsächlich sind die Eigenwerte,

das haben wir uns jetzt natürlich schon überlegen, wie das aussehen mag, hier also aus dem, was wir

bis jetzt sozusagen schon gelernt haben, kann man ja schon sich überlegen, wie das Eigenwertkriterium

aussehen mag, hier, aber man kann sich das sozusagen auch jetzt systematisch überlegen.

Allgemein ist die Lösung für so ein System x von t, also ich habe nur freie Schwingung,

Phi von t mal x0. So x0 ist offensichtlich hier beschränkt laut Voraussetzung. Also wir wollen

kein x0 irgendwie unendlich zulassen, so das heißt die Stabilität kann nicht von dem x0 abhängen,

sondern nur von dem Phi. So das heißt ich habe jetzt hier diese fundamentalen Matrix, die kann ich darstellen als Phi von t,

als die Modalmatrix groß x mal e hoch die Jordanmatrix jt, da steht hier x hoch minus eins.

So das heißt, wenn ich jetzt das angucke, ist das x und damit auch das x hoch minus eins, da stehen

die Eigenmoden drin, die Modalmatrix, die ist auch immer beschränkt, die kann ich zwar irgendwie skalieren,

aber da kommt auch niemals irgendetwas raus, was gegen unendlich geht an der Stelle. Das heißt tatsächlich

entscheidet dieser Term hier e im Allgemeinen für jt, entscheidet über die Stabilität des Systems,

also ob das e hoch jt halt anwächst oder abfällt oder halt irgendwie konstant bleibt. So das heißt,

man muss jetzt wieder diese Fallunterscheidung machen, je nachdem welchen Rangabfall ich habe,

also je nachdem ob dieses j da, diese Jordanmatrix halt die Diagonalmatrix der Eigenwerte ist oder ob da

diese Säkularen wieder auftauchen. Das heißt wir haben hier im Fall eins war das, dass der Rangabfall

gleich der Vielfachheit war für alle j, dann ist in diesem Fall das e hoch jt gleich dem e hoch lambda t,

da stehen die ganzen Eigenwerte drin, ist also eine Matrix, da steht hier e hoch lambda 1t bis e hoch

lambda nt. So dann kann ich mir sozusagen die einzelnen e hochs hier anschauen, dann gilt mit

e hoch lambda t, das ist ja im Allgemeinen komplex so ein lambda, hier kann ich hinschreiben als e hoch

realteil von lambda mal t mal e hoch imaginärteil von lambda mal t in dieser Form. Also wenn ich real

plus imaginärteil kann ich das auseinander ziehen und das kann ich mir wiederum hinschreiben als e

hoch realteil von lambda t und für das e hoch imaginärteil lambda t kann ich wieder die Euler